Autsch, nettes Thema, die hälfte kapier ich nciht, aber ich probiere es trotzdem.
Also zuerst einmalwürd ich wirklich davon ausgehen, dass bei "Jeder" auch wirklich jeder gemeint ist, es sei denn es ist ein "außer" hinzugefügt worden.
Aber alles was individuell ist, muss trotzdem irgendeine gemeinsamkeit mit etwas anderem haben:
Ein Hase z.b. bewegt sich auf dem land-genauso wie ein Bär
hüpft, genauso wie ein Känguru usw.
Es ist praktisch nicht möglich etwas zu finden, dass gänzlich individuell ist.
Aber grundsätzlich würde ich denken, dass bei derartigen Aussagen eine Zuordnung eine Zuordnung ist, die ohne ausdrücklichen Hinweise alle zugeordneteten Elemente oder Wesen miteinbezieht.

Soweit klar.
Aber in den Matrizen heißt es:

(3) Wenn jedes A ein B ist und jedes B ein C ist, so ist jedes A ein C.
(4) Wenn x ein B ist und jedes B ein C ist, so ist x ein C.

Die Frage ist jetzt, ob (4) eine notwendige Wahrheit ist oder nicht (Nummer 3 ist in jedem Fall eine).

Wenn nicht, dann könnte ich mir dafür zwei Erklärungen vorstellen:
1. Es fehlt der Allquantor vor dem x, was bedeutet, dass die Matrix situations- und individuenabhängig ist. Unter Umständen kann dies eine notwendige Wahrheit ausschließen - ich weiß es aber nicht genau.
2. Es ist ein x (also ein Individuum: z.B. Heinz) und nicht ein A (also eine Klasse: z.B. Mensch).

Wenn doch, dann wäre das toll, aber die Erklärung dafür wäre mir nicht klar. Theoretisch kann x jeder beliebige Gegenstand bzw. jedes Subjekt sein. Der Schluss an sich ist eine Subjunktion, die notwendige Wahrheit beansprucht. Aber halt normalerweise nur mit Klassen UND dem Allquantor (Man kann ja sagen "Jeder Mensch" aber nicht "Jeder Heinz", man kann also kein Individuum mit einem Allquantor verallgemeinern ohne doch wieder von Klassen zu sprechen). Die Frage ist also: Kann sich eine notwendige Wahrheit auch auf Individuen beziehen.

Mathematisch wäre es ja so:
x=b
B=c
=>x=c
also rein mathematisch muss es hinhauen.
Wenn x das gleiche ist wie B(Buchstabe), oder zu B gehört(B als Gruppe), dann ist x auch gleich C.
Aber was du meinst: Es ist keine Notwendige Annahme, da x als Individuum unter Umständen Eigenschaften aufweist, die nicht zu b oder zu c gehören. Damit kann x nicht gleich und nicht gleich c sein.
Also nicht unbedingt notwendig.

PS: Punkt Nr. 1 hab ich net kapiert bei dir^^

Deine mathematische Begründung ist vollkommen korrekt. Vielmehr ist es ein logisches Schließen, kein Mathematisches. Ich will hier mal die Philosophie vor feindlicher Übernahme schützen

Das heißt aber noch nichts. Ein Schluss kann, soweit ich weiß, korrekt aber dennoch keine notwendige Wahrheit sein. Aber da bin ich mir halt nicht sicher... Wenn jeder korrekte Schluss (bzw. dessen Matrix) eine notwendige Wahrheit ist, dann hätte sich mein Problem geklärt.

Nochmal zu deinen Ausführungen:


Das könnte man im Beispiel (3) von A in Bezug auf B auch behaupten - von daher kann der Einwand nicht gelten. Und scheinbar kann x auch keine Eigenschaften aufweisen, die nicht zu B gehören, schließlich sagen wir "x ist ein B". x fällt also unter den Bereich von B, ist aber natürlich nicht vollkommen deckungsgleich mit ihm (das eine ist ein Individuum, das andere eine Klasse; "Heinz" ist ja nicht (der) "Mensch").

Ich weiß jetzt nicht genau, was du mit "notwendiger Annahme" meinst, eine notwendige Wahrheit garantiert auf jeden Fall einen korrekten Schluss. Notwendige Wahrheiten zeigen sich immer in der logischen Form (also in einer Matrix) und sind eigentlich (die Ausnahmen spare ich mir hier einmal) formimmanent allgemeingültig. Soll heißen: Alle Aussagen der Form

(3) Wenn jedes A ein B ist und jedes B ein C ist, so ist jedes A ein C.

sind notwendig wahr. Denn egal was man einsetzt, der logische Schluss muss korrekt sein und die Aussage ist tatsächlich wahr (sofern man die Prämissen als wahr annimmt).

Nun ist mir noch immer nicht klar, ob dies auch gilt, wenn ich statt eines Klassenbuchstabens (A) mit Allquantor ("jedes") eine Individuenkonstante (dann natürlich ohne Allquantor) einsetze. Wie bei dem Beispiel:

(4) Wenn x ein B ist und jedes B ein C ist, so ist x ein C.

Philo, wie du selbst schriebst, befaßtest Du Dich mit Prädikatenlogik. Leider scheint Dir nicht bewußt zu sein, daß Du Dich hier, was die Wahrheitsfindung betrifft, auf dem einzigen mir bekannten Terrain bewegst, wo der Wahrheitswert einer Aussage, die eine Schlußfolgerung aus Prämissen ist, immer eindeutig klar und unwiderlegbar und noch dazu ganz einfach zu ermitteln ist.

Deine Fragestellung: "Oder fußt notwendige Wahrheit immer auf wahren Prämissen.....?" ist in der Prädikatenlogik per Definitionem absurd.

Begriffe wie Vernunftwahrheit, Tatsachenwahrheit, ja alle Überlegungen, die sich mit der Möglichkeit befassen, ob eine der Dir gegebenen Prämissen oder die einzige mögliche richtige Schlußfolgerung auch nur nach "gesundem Menschenverstand" (was immer Du unter diesem Begriff verstehen willst)denkbar ist können hier nur zu Verwirrung führen. Jede gegebene Prämisse gilt als wahre Grundannahme.

Mir schien aber, Deine Unklarheit ist hauptsächlich darauf zurückzuführen, daß Dir Folgendes nicht ganz deutlich ist: Zentral wichtiges Ausdrucksmittel in der Prädikatenlogik sind die Quantoren, welche ausdrücken, auf wie viele Individuen ein Prädikat zutrifft. Es gibt zwei Quantoren : Allquantor und Existenzquantor. Der Allquantor besagt, daß ein Prädiikat auf alle Indivviduen zutrifft, und der Exixtenzquantor drückt aus, daß es (mindestens) ein Individuum gibt, für welches das Prädikat gilt. So ist für Dich jetzt geklärt, Philo, daß Deine ursprünliche Frage nur daher kam, daß du die Existenz des Existenzquantors in deinem Beispiel nicht bedacht hast, und Paradisdreaming stiftete zusätzlich Verwirrung durch seine Spekulationen bezüglich der eventuellen individuellen Eigenschaften, welche x aufweisen könnte - aber die Irrelevanz solcher Gedanken ist ja inzwischen auch besprochen.
Ich kann Philo nur zustimmen, die Schlüsse auf das Lehrbuch des Benson Mates, die ich aufgrund der aufgekommenen Frage ziehen muß, lassen mir dieses Werk mal vorurteilshalber nicht empfehlenswert erscheinen.

[∃(x) (x ist B) ∧ ∀(x) (x ist B => x ist C)] => ∃(x) (x ist C)

Wenn für Heinz gilt, dass er ein Mensch ist
und für Alle Menschen gilt, dass sie Quark sind
Dann gilt für Heinz, das er Quark ist.

Eine herrliche Logik.

Gibt es noch mehr von diesen herrlichen Schlüssen?

a oder b daraus folgt nicht a und b

Also gilt:

Ist Heinz ein Mensch oder ein Tier daraus folgt Heinz kann nicht Mensch und Tier sein

Oder noch anders:


Ist Heinz Mensch oder Quark daraus folgt Heinz kann nicht Mensch und Quark sein

Frohes schaffen dabei.

Rudi

Hi,

Also ich hatte die Prädikatenlogik etwas formaler (auf mathematischer Ebene). Ich vermute mal dass das, was bei dir "notwendige Wahrheit" heißt, das ist, was ich als allgemeingültige Formel kenne.

Und dann ist dein Beispiel ganz klar allgemeingültig. Die Tatsache, dass bei deinem Beispiel "Wenn x ein B ist und jedes B ein C ist, so ist x ein C" das x nicht durch einen Quantor gebunden ist (bei uns hieß das dann freie Variable) verhindert nicht, dass die Aussage notwendigerweise wahr ist, denn egal wie ich x instanziiere, die Aussage ist immer wahr (für jede Variablenbelegung).

Bei komplizierteren Formeln kann man Kalküle benutzen um die Allgemeingültigkeit zu zeigen (zb. Hilbert-Kalkül oder Tablau-Kalkül), das sind Regeln die eine Formel schrittweise zerlegen. Dann wird der Beweis etwas mechanisiert.

Es gibt auch Formeln (Aussagen) die zwar erfüllbar, aber nicht allgemeingültig sind. Ein Beispiel wäre:

es gibt ein x, sodass x ein T ist

(ich benutze mal die Schreibweise, die du eingeführt hast)

Dann hängt es natürlich vom Prädikat T ab, ob die Aussage wahr ist oder nicht. Man könnte sagen die Aussage ist möglicherweise wahr, aber nicht notwendigerweise.

Es gibt auch Formeln, die unerfüllbar sind, beispielsweise: A und nicht A. Egal ob A wahr oder falsch ist, die Aussage ist falsch. Sie kann "unmöglich" wahr sein.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.

Zum Schluß noch ein kleines logisches Paradox. Die folgende Aussage ist allgemeingültig:

Ist eine Bar nicht leer, so gibt es eine Person x in der Bar, sodass falls x etwas trinkt, jeder etwas trinkt.

Na, wisst ihr warum? Pure Logik

wenn nur einer da ist, dann ist einer jeder.

Rudi

Übrigens A und nichtA ist in der Praxis möglich.

Nimm eine Münze. Die eine Seite ist A meinetwegen die zahl und nichtA die Rückseite der Münze. Wirf die Münze. Du wirst immer nur eine Seite sehen, obwohl die andere Seite vorhanden ist, die Du nichtsiehst.
Ok das ist die praktische Seite.
Theoretisch gibt es nur entweder a oder nichta.

Rudi.

Das nicht A dann aber lieber Seite B nennen, sonst macht's nur verrückt.
Oder wolltest Du uns damit sagen, dass etwas außer der Münze selbst, sowohl sichtbar als auch nicht sichtbar wäre?

infiniti

Das stimmt. Aber ich habe ja viel mehr behauptet. Ich habe gesagt, die Aussage ist allgemeingültig. Das heißt, sie ist immer wahr, in JEDER denkbaren Situation. Also auch wenn 20 Leute in der Bar sind und 5 trinken was und der Rest nicht. Selbst dann stimmt die Aussage.

Ich geb noch einen kleinen Tipp dazu. Man sollte sich klar machen wann eine Aussage der Form "falls X dann Y" wahr ist und wann falsch. Damit sollte man sich die Erklärung überlegen können.



Naja, in der (formalen) Logik interpretiere ich A aber immer als Aussage und nicht als eine Sache. Dann treffe ich die Entscheidung ob A wahr ist oder falsch. Und dementsprechend ist dann nichtA eben falsch oder wahr (genau umgekehrt).

Ich könnte A als "Zahl liegt oben" definieren. Dann wäre nichtA die Aussage "Zahl liegt nicht oben".

Aber in der Praxis führt die harte Entscheidung zwischen wahr und falsch manchmal zu eingeschränkter Formalisierbarkeit. Deshalb gibt es noch andere Logiken (neben der klassischen Prädikatenlogik erster Stufe), wie zum Beispiel unscharfe Logik, in der eine Aussage "ein Bisschen wahr" sein kann oder "ziemlich wahr".

Ich liefer mal eine mögliche Erklärung.

Eine Implikation der Form "Wenn X dann Y" ist genau dann korrekt, wenn X falsch ist oder Y wahr ist.

Ein kleines Beispiel dazu:
Angenommen man hat eine rote Tomate x vor sich liegen. Dann ist die Aussage "Wenn x grün ist, dann können Schweine fliegen" wahr, weil eben die Prämisse der Implikation falsch ist.

Betrachten wir nun nocheinmal die Aussage:
Ist eine Bar nicht leer, so gibt es eine Person x in der Bar, sodass falls x etwas trinkt, jeder etwas trinkt.

Also ist die Aussage schonmal richtig, falls die Bar leer ist (wegen der Implikation). Betrachten wir somit nurnoch den Fall dass die Bar nicht leer ist. Jetzt soll es angeblich eine Person x geben, sodass falls x was trinkt, jeder in der Bar etwas trinkt. Mit anderen Worten bedeutet das, dass es eine Person x gibt, sodass x nichts trinkt oder jeder etwas trinkt (Implikation auflösen).

Jetzt unterseiden wir zwei Fälle:
Entweder jeder in der Bar trinkt etwas oder es gibt eine Person die nichts trinkt (einer der beiden Fälle muss (!) eintreten.
Falls jeder etwas trinkt, ist die Aussage "Es gibt eine Person x, sodass x nichts trinkt oder jeder etwas trinkt" wahr weil jeder etwas trinkt.

Im anderen Fall ist die Aussage "Es gibt eine Person x, sodass x nichts trinkt oder jeder etwas trinkt" auch wahr, weil es ja eine Person gibt die nichts trinkt.

Somit ist unsere ursprüngliche Aussage notwendigerweise wahr. Eine kleine Beispielsituation verdeutlicht das:
Angenommen es gibt zwei Leute Karl und Franz in einer Bar, Karl trinkt etwas, Franz nicht. Dann ist die Implikation "Falls Franz etwas trinkt, trinken beide etwas" wahr! Eben weil Franz nichts trinkt.

Is doch einleuchtend, oder?